Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC²＝AB•AD；

（2）求证：△AFD∽△CFE．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD∥CE即可解决问题；

（1）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=AB•AD；

（2）证明：∵E为AB的中点，

∴CE=BE=AE，

∴∠EAC=∠ECA，

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD，

∴△AFD∽△CFE．