Question

（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在斜边AB上，点E在直角边BC上，若∠CDE＝45°，求证：△ACD∽△BDE．

（2）如图2所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝10cm，点E在BC上，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD（或CD的延长线）于点F．

①若BE：EC＝1：9，求CF的长；

②若点F恰好与点D重合，请在备用图上画出图形，并求BE的长．

Answer

（1）见解析；（2）①CF＝；②BE的长为2cm或8cm

【解析】

（1）由等腰直角三角形性质知∠A=∠B=45°、∠ACD+∠ADC=135°，根据∠CDE=45°知∠ADC+∠BDE=135°，据此得出∠BDE=∠ACD，从而得证；
（2）①由矩形的性质及EF⊥AE知∠BAE+∠AEB=90°、∠CEF+∠BEA=90°，得出∠BAE=∠CEF，即可证△BAE∽△CEF得=，据此计算可得；
②设BE=xcm，由①得△BAE∽△CEF，据此知=，即=，解之即可.

【解析】
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠ACD+∠ADC=135°，

∵∠CDE=45°，

∴∠ADC+∠BDE=135°，

∴∠BDE=∠ACD，

∴△ACD∽△BDE；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵∠AEF=90°，

∴∠CEF+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△BAE∽△CEF，

∴=，

∵BE：EC=1：9，

∴BE=BC=1cm，CE=9cm，

∴=，CF=；

②如图所示，设BE=xcm，

由①得△BAE∽△CEF，

∴=，即=，

整理，得：x2﹣10x+16=0，

解得：x1=2，x2=8，

所以BE的长为2cm或8cm．