Question

如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE＝∠B＝60°．

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AE＝3，AD＝4，求EF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由平行四边形的性质结合等角的补角相等，可得出∠AFD=∠C=120°、AD∥BC，利用平行线的性质可得出∠ADF=∠DEC，进而即可证出△ADF∽△DEC；
（2）由AE及∠B的值可求出BE、CE的长度，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出DE的长度，由△ADF∽△DEC利用相似三角形的性质即可求出DF的长度，再将其代入EF=DE-DF中即可求出EF的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠AFE＝∠B＝60°，

∴∠AFD＝∠C＝120°，AD∥BC，

∴∠ADF＝∠DEC，

∴△ADF∽△DEC．

（2）【解析】
∵AE＝3，∠B＝60°，

∴BE＝，CE＝4﹣．

在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝4，

∴DE＝=5．

∵△ADF∽△DEC，

∴，即，

∴DF＝，

∴EF＝DE﹣DF＝．