Question

如图，点E是四边形ABCD的对角线ＢＤ上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.

①试说明BE·AD＝CD·AE；

②根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）

Answer

（1）证明见解析；

（2）猜想=或（理由见解析

【解析】试题

（1）由已知条件易证∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ADC，从而可得△AEB∽△ADC，由此可得，这样就可得到BE·AD=DC·AE；

（2）由（1）中所得△AEB∽△ADC可得= ，结合∠DAE=∠BAC可得△BAC∽△EAD，从而可得： =或（）.

试题解析：

①∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，

即∠DAC=∠BAE，

∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，

∠ADC=∠ADB+∠BDC，

又∵∠DAE=∠BDC，

∴∠AEB=∠ADC，

∴△BEA∽△CDA，

∴=，

即BE·AD=CD·AE；

②猜想=或（），

由△BEA∽△CDA可知， =，即=，

又∵∠DAE=∠BAC，

∴△BAC∽△EAD，

∴=或（）.