Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．

Answer

（1）见解析（2）2：3

【解析】解：（1）证明：连接DO，

∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD。

又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO。

∴∠COD=∠COB。

在△COD和△COB中，，

∴△COD≌△COB（SAS）。

∴∠CDO=∠CBO=90°.

又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.

（2）∵△COD≌△COB．∴CD=CB。

∵DE=2BC，∴ED=2CD。

∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO。

∴AD：OC=DE：CE=2：3。

（1）连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线。

（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值。