Question

如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形，若AD＝4，则线段BE的长为______．

Answer

4

【解析】

本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到∠DBE=60°，∠BEC=90°，再根据等腰三角形的性质可以得出∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，最后根据三角形内角和定理得出关系式∠C-60°+∠C=90°解出∠C，推出AD=DE，于是得到结论．

∵△BDE是正三角形，

∴∠DBE=60°；

∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，

∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC，则∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，∠BEC=90°；

∴∠EBC+∠C=90°，即∠C-60°+∠C=90°，

解得∠C=75°，

∴∠ABC=75°，

∴∠A=30°，

∵∠AED=90°-∠DEB=30°，

∴∠A=∠AED，

∴DE=AD=4，

∴BE=DE=4，

故答案为：4．