Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），顶点B在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，且∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，线段OC的垂直平分线分别交OC，BC于点D，E．

（1）点C的坐标；

（2）点P为线段ED的延长线上的一点，连接PC，PA，设点P的横坐标为t，△ACP的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，点F为线段BC的延长线上一点，连接OF，若OF＝CP，求∠OFP的度数．

Answer

（1）C（0，3）；（2）S＝2t；（3）60°.

【解析】

（1）根据直角三角形30度角的性质分别计算AB和AC的长，可得OC的长，写出点C的坐标；

（2）根据三角形面积公式得：S△ACP=×AC×DP=×4×t=2t；

（3）如图3，过点O作OH⊥BC于H，证明Rt△OHF≌Rt△ODP，得∠HFO=∠DPO，再证明△FOP是等边三角形，则∠OFP=60°．

（1）∵∠ABC＝90°，

∴∠CBO+∠ABO＝90°，

∵∠CBO+∠ACB＝90°，

∴∠ABO＝∠ACB，

∴∠ACB＝30°，

∴∠ABO＝30°，

在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，

∴AB＝2OA，

在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，

∴AC＝2AB，

∵A（0，﹣1），

∴OA＝1，

∴AB＝2，AC＝4，

∴OC＝AC﹣OA＝4﹣1＝3，

∴C（0，3）；

（2）∵DE所在直线为线段OC的垂直平分线，

∴PD⊥OC，

∵点P的横坐标为t，

∴PD＝t，

∵AC＝4，

∴S△ACP＝＝2t，

即S＝2t；

（3）如图3，过点O作OH⊥BC于H，连接OP，

在Rt△CHO中，∵∠HCO＝30°，

∴OH＝OC，

∵OD＝OC，

∴OH＝OD，

∵PE所在直线为线段CD的垂直平分线，

∴PC＝PO，

∴OF＝CP，

∴PO＝FO，

在Rt△OHF和Rt△ODP中，

∵，

∴Rt△OHF≌Rt△ODP（HL），

∴∠HFO＝∠DPO，

∴∠FEP+∠HFO＝∠FOP+∠DPO，

∴∠FEP＝∠FOP，

∵∠FEP＝60°，

∴∠FOP＝60°，

∴△FOP是等边三角形，

∴∠OFP＝60°．