Question

已知抛物线y＝ax²﹣ax﹣2a（a为常数且不等于0）与x轴的交点为A，B两点，且A点在B的右侧．

（1）当抛物线经过点（3，8），求a的值；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）若抛物线的顶点为M，且点M到x轴的距离等于AB的3倍，求抛物线的解析式．

Answer

（1）a＝2；（2）A（2，0），B（﹣1，0）；（3）抛物线为y＝4x2﹣4x﹣8或y＝﹣4x2+4x+8．

【解析】

（1）将点（3，8）代入已知函数解析式，列出关于a的方程8＝a（9﹣3﹣2），通过解该方程求得a的值；

（2）根据二次函数与一元二次方程的关系可以得到：a（x2﹣x﹣2）＝0，a≠0，由此求得点A、B的横坐标；

（3）利用（2）中点A、B的坐标求得AB＝3，结合顶点坐标公式求得a的值．

（1）∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a经过点（3，8），∴8＝a（9﹣3﹣2），∴a＝2；

（2）∵方程a（x2﹣x﹣2）＝0，a≠0，∴x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴A（2，0），B（﹣1，0）；

（3）∵抛物线，∴顶点M的坐标为（）．

∵A（2，0），B（﹣1，0），∴AB＝3，由题意得：，∴a＝±4，∴抛物线为y＝4x2﹣4x﹣8或y＝﹣4x2+4x+8．