Question

已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC 、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F．

（1）求证：DC=EC；

（2）求△EAF的面积．

Answer

（1）答案见解析；（2）

【解析】试题（1）根据正方形的性质可得∠ADH=∠HDC=∠DCH=∠DAE=45°，由DE平分∠ADB，可得∠ADE=∠EDH，再由∠DAE+∠ADE=∠DEC，∠EDH+∠HDC=∠EDC，所以∠EDC=∠DEC，即可得DC=EC；（2）根据（1）的结论和勾股定理即可求得AC=， E= -1，在Rt△BHC中，求得BH= ，根据三角形的面积公式即可求得△BEC的面积，再由AD∥BC，可得△AFE∽△CBE，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得△EAF的面积．

试题解析：

（1）∵正方形ABCD，

∴DC=BC=BA=AD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°，AH=DH=CH=BH，AC⊥BD，

∴∠ADH=∠HDC=∠DCH=∠DAE=45°．

又∵DE平分∠ADB，

∴∠ADE=∠EDH，

∵∠DAE+∠ADE=∠DEC，∠EDH+∠HDC=∠EDC，

∴∠EDC=∠DEC，

∴DC=EC；

（2）∵正方形ABCD，

∴AD∥BC

，∴△AFE∽△CBE∴；

∵AB=BC=DC=EC=1，AC= ，

∴AE= ，

Rt△BHC中，BH= BC= ，

∴在△BEC中，BH⊥EC，,

∴，

∴.