Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)设AB=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；

(3)若BE=8，sinB=，求DG的长，

Answer

(1)证明见解析；(2)AD=；(3)DG=．

【解析】

（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；
（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；
（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可．

(1)如图，连接OD，

∵AD为∠BAC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

∴OD⊥BC，

∴BC为圆O的切线；

(2)连接DF，由(1)知BC为圆O的切线，

∴∠FDC=∠DAF，

∴∠CDA=∠CFD，

∴∠AFD=∠ADB，

∵∠BAD=∠DAF，

∴△ABD∽△ADF，

∴，即AD2=AB•AF=xy，

则AD= ；

(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=，

设圆的半径为r，可得，

解得：r=5，

∴AE=10，AB=18，

∵AE是直径，

∴∠AFE=∠C=90°，

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，

∴sin∠AEF=，

∴AF=AE•sin∠AEF=10×=，

∵AF∥OD，

∴，即DG=AD，

∴AD=，

则DG=．