Question

如图，已知抛物线C₁：y＝x²﹣2x﹣，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，已知M（4，0），点P是抛物线上的点，其横坐标为6，点D为抛物线的顶点．

（1）求S_△ABC．

（2）点E、F是抛物线对称轴上的两动点，且已知E（2，a+）、F（2，a），当a为何值时，四边形PEFM周长最小？并说明理由．

（3）将抛物线C₁绕点D旋转180°后得到抛物线C₂沿直线CD平移，平移后的抛物线交y轴于点Q，顶点为R，平移后是否存在这样的抛物线，使△CRQ为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）S＝3+；（2）a＝；（3）当a＝2时，抛物线解析式为y（x﹣2）2﹣2；当a＝﹣2+2时，抛物线解析式为y（x+2﹣2）2+2﹣2．

【解析】

（1）对于抛物线C1，令x＝0及y＝0，分别求出y与x的值，确定出C，A，B坐标，得到AB与OC的长，即可求出三角形ABC面积；

（2）如图所示，作M关于对称轴的对称点O，将点O向上平移个单位得到M′，连接PM′，与对称轴交于点F，此时四边形PEFM周长最小，求出M′与P坐标，利用待定系数法确定出直线M′P解析式，令x＝2求出y的值，即可确定出此时a的值；

（3）根据题意，利用旋转性质确定出抛物线C2与直线CD解析式，再利用平移性质确定出抛物线C2平移后的解析式，表示出C，R，Q坐标，进而表示出CR2，CQ2，RQ2，根据CR2＝CQ2；CR2＝RQ2；CQ2＝RQ2，分别求出a的值即可．

（1）对于抛物线C1：yx2﹣2x，令x＝0，得到：y，即C（0，），令y＝0，得到：x2﹣2x0，解得：x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），则S[（3）﹣（1）]•；

（2）如图所示，作M关于对称轴的对称点O，将点O向上平移个单位得到M′，连接PM′，与对称轴交于点F，此时四边形PEFM周长最小，易得M′（0，），P（6，6），设直线PM′解析式为y＝kx+b，把M′与P坐标代入得：，解得：，∴y，令x＝2，得到：y，∴a，解得：a；

（3）易得抛物线C1：y（x﹣2）2﹣2，旋转180°后抛物线C2：y（x﹣2）2﹣2，直线CD解析式为y＝﹣x，设抛物线C2平移后的关系式为y（x﹣a）2﹣a，易得C（0，），R（a，﹣a），Q（0，a2﹣a），CR2＝a2+a2，CQ2＝a2（a+1）2，RQ2＝a2a4，分三种情况讨论：

①当CR2＝CQ2时，得到：a2+a2＝a2（a+1）2，解得：a＝﹣2+2或a＝﹣2﹣2（舍去）；

②当CR2＝RQ2时，得到：a2+a2＝a2a4，解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）；

③当RQ2＝CQ2时，得到：a2（a+1）2＝a2a4，解得：a＝0（舍去）．

综上所述：当a＝2时，抛物线解析式为y（x﹣2）2﹣2；当a＝﹣2+2时，抛物线解析式为y（x+2﹣2）2+2﹣2．