Question

已知二次函数y=-x ² +2mx-m ²+4

(1)当m=1时，抛物线的对称轴和顶点坐标:

(2)求证:不论m取何值时该二次函数的图像与x轴必有两个不同交点

(3)若该二次函数的图像与x轴交于点A， B(点Ａ在点Ｂ的左侧)，顶点为C，则这时△ＡBC的面积为　　　　　

Answer

（1）对称轴为x=1，顶点坐标为(1，4)；（2）证明见解析；（3）8.

【解析】

（1）把m=1代入到二次函数解析式中，用配方法整理成顶点式，即可得到其对称轴和顶点坐标；

（2）应用根的判别式即可证明；

（3）令y=0，求出A、B横坐标，用m表示顶点C坐标，求△ABC面积.

（1）把m=1代入到y=-x 2 +2mx-m 2+4中，

得y=-x 2 +2x+3=-(x-1)2+4，

所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1，4)；

（2）当y=0时，-x2+2mx-m2+4=0，

∵b2-4ac=4m2-4×（-1）×（-m2+4）=16＞0，

∴此一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴该二次函数的图象与x轴必有两个不同交点；

（3）当y=0时，-x2+2mx-m2+4=0，

解得：x1=m+2，x2=m-2，

∵点A在点B的左侧，

∴点A、B横坐标分别为m-2，m+2，

∴AB=4，

配方得y=-x2+2mx-m2+4=-（x-m）2+4，

∴抛物线顶点为（m，4）

∴S△ABC=×4×4=8，

故答案为：8.