Question

已知一次函数y＝x＋4的图象与二次函数y＝ax(x－2)的图象相交于A（－1，b）和B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y＝ax(x－2)的图象交于点C．

（1）求a、b的值

（2）求线段PC长的最大值；

（3）若△PAC为直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer

（1）a＝1；（2）当m＝时，PC有最大值，最大值为；（3）P1(2，6)，P2(3，7)．

【解析】

试题（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得b，根据待定系数法，可得a；

（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据勾股定理，可得AP，CP的长，根据勾股定理的逆定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

【解析】
（1）∵A（﹣1，b）在直线y=x+4上，

∴b=﹣1+4=3，

∴A（﹣1，3）．

又∵A（﹣1，3）在抛物线y=ax（x﹣2）上，

∴3=﹣a•（﹣1﹣2），

解得：a=1．

（2）设P（m，m+4），则C（m，m2﹣2m）．

∴PC=（m+4）﹣（m2﹣2m）

=﹣m2+3m+4

=﹣（m﹣）2+，

∵（m﹣）2≥0，

∴﹣（m﹣）2+≤．

∴当m=时，PC有最大值，最大值为．

（3）如图

，

P（m，m+4），C（m，m2﹣2m），

AP2=（m+1）2+（m+4﹣3）2=2（m+1）2，AC2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2，PC2=（﹣m2+3m+4）2．

①当AP2+AC2=PC2时，即2（m+1）2+（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2=（﹣m2+3m+4）2，

3（m+1）2+[（m2﹣2m﹣3）2﹣（﹣m2+3m+4）2]=0

化简，得（m+1）（m+1）（m﹣2）=0，

解得m=﹣1（不符合题意，舍），m=2，

当m=2时，m+4=6，即P（2，6）；

②当AP2=AC2+PC2时，即2（m+1）2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2+（﹣m2+3m+4）2，

化简，得

（m﹣4）（m+1）（m+1）（m﹣3）=0．

解得m=4（不符合题意，舍），m=﹣1（不符合题意，舍），m=3，

当m=3时，m+4=7，

即（3，7），

综上所述：若△PAC为直角三角形，点P的坐标为P1（2，6），P2（3，7）．