Question

定义，如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N为线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长

（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90度试试，请根据陈老师的提示完成证明过程．

（3）如图3，C是线段AB上的一定点，请在BC上画一点D，使C、D是线段AB的勾股分割点

（要求：完成尺规作图，保留作图痕迹，并在右侧分步写出作图步骤）

Answer

（1）4或.（2）证明见解析，（3）作图见解析.

【解析】

（1）分两种切线利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN．只要证明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再证明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解决问题；

（3）根据定义画图即可.

（1）【解析】
当MN最长时，BN==4；

当BN最长时，BN=；

（2）证明：如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN

∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，

∴△ADC≌△BNC，

∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，

∵∠MCN=45°，

∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°

∴∠MCD=∠BCM，

∴△MDC≌△MNC，

∴MD=MN

在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，

∴BN2+AM2=MN2，

∴点M，N是线段AB的勾股分割点．

（3）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；

③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；

点D即为所求；如图3中所示．