Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为直角边在AD的右侧作Rt△ADE，且AD=AE.

（1）填空：当点D在线段BC上时（与点B不重合），则线段CE、BD的数量关系应为________________,线段CE所在的直线与射线BC的位置关系为____________；

（2）如下图，当点D在线段BC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，请证明；

（3）如下图，点D在BC的延长线上，如果AC＝cm，△CDE的面积为4cm²时，求线段DE的长度.

Answer

⑴CE=BD,CE⊥BC；⑵仍然成立.（3）DE=6.

【解析】

（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；

（2）仿照（1）的证明方法解答；

（3）根据勾股定理求出BC，设CD=x，BD=CE=y，根据三角形的面积公式、勾股定理列式计算即可．

（1）∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠ABD=45°，

∴CE⊥BD，

故答案为：相等；垂直；

（2）仍然成立，

理由如下：∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B，

∵∠B+∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ACB=90°，

∴∠BCE=90°，即CE⊥BD；

（3）∵∠BAC=90°，

∴由勾股定理得，BC＝，

∵△CDE的面积为4，

∴CD•CE＝4，

设CD=x，BD=CE=y，则xy=8，

当点D在线段BC的延长线上时，BC＝BD−CD＝，

即y-x=2，

∴x2+y2=（y-x）2+2xy=36，

∴DE＝＝6．