Question

（1）一个两位正整数，a表示十位上的数字，b表示个位上的数字（a≠b，ab≠0），则这个两位数用多项式表示为　   　（含a、b的式子）；若把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两位数，则这两个两位数的和一定能被　   　整除，这两个两位数的差一定能被　   　整除

（2）一个三位正整数F，各个数位上的数字互不相同且都不为0．若从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个数字组成6个不同的两位数．若这6个两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数F为“友好数”，例如：132是“友好数”

一个三位正整数P，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数P为“和平数”

①直接判断123是不是“友好数”？

②直接写出共有　   　个“和平数”

③通过列方程的方法求出既是“和平数”又是“友好数”的数．

Answer

(1) 10a+b，11，9；(2) ①123不是“友好数”，理由见解析；②32；③既是“和平数”又是“友好数”的数是396，264，132．

【解析】

（1）分别求出两数的和与两数的差即可得到结论；

（2）①根据“友好数”的定义判断即可；

②根据“和平数”的定义列举出所有的“和平数”即可；

③设三位数既是“和平数”又是“友好数”，根据“和平数”的定义，得出y＝x+z．再由“友好数”的定义，得出10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，化简即为12y＝78x﹣21z．把y＝x+z代入，整理得出z＝2x，然后从②的数字中挑选出符合要求的数即可

(1)这个两位数用多项式表示为10a+b，

（10a+b）+（10b+a）＝10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b），

∵11（a+b）÷11＝a+b（整数），

∴这个两位数的和一定能被数11整除；

（10a+b）﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a＝9a﹣9b＝9（a﹣b），

∵9（a﹣b）÷9＝a﹣b（整数），

∴这两个两位数的差一定能被数9整除，

故答案为：11，9；

(2)①123不是“友好数”．理由如下：

∵12+21+13+31+23+32＝132≠123，

∴123不是“友好数”；

②十位数字是9的“和平数”有198，297，396，495，594，693，792，891，一个8个；

十位数字是8的“和平数”有187，286，385，584，682，781，一个6个；

十位数字是7的“和平数”有176，275，374，473，572，671，一个6个；

十位数字是6的“和平数”有165，264，462，561，一个4个；

十位数字是5的“和平数”有154，253，352，451，一个4个；

十位数字是4的“和平数”有143，341，一个2个；

十位数字是3的“和平数”有132，231，一个2个；

所以，“和平数”一共有8+（6+4+2）×2＝32个．

故答案为32；

③设三位数既是“和平数”又是“友好数”，

∵三位数是“和平数”，

∴y＝x+z．

∵是“友好数”，

∴10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，

∴22x+22y+22z＝100x+10y+z，

∴12y＝78x﹣21z．

把y＝x+z代入，得12x+12z＝78x﹣21z，

∴33z＝66x，

∴z＝2x，

由②可知，既是“和平数”又是“友好数”的数是396，264，132．