Question

某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．

（1）设商场销售该种商品每月获得利润为w（元），写出w与x之间的函数关系式；

（2）如果商场想要销售该种商品每月获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？

（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．

Answer

（1）w=﹣10x2+700x﹣10000，

（2）想要每月获得2000元的利润，每月成本至少2000元．

（3）当定价34.5元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5元．

【解析】

试题（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数y=﹣10x+500，利润=（定价﹣成本价）×销售量，从而列出关系式；

（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；

（3）根据销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，则利润=（定价﹣成本价+补贴）×销售量，从而列出关系式；运二次函数性质求出结果．

试题解析：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y，

=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，

（2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000=2000，

解这个方程得：x1=30，x2=40，

当x=30时，成本为20×（﹣10×30+500）=4000元

当x=40时，成本为20×（﹣10×40+500）=2000元

答：想要每月获得2000元的利润，每月成本至少2000元．

（3）当销售量每月不小于150件时，即﹣10x+500≥150，

解得：x≤35，

由题意，得：

w=（x﹣22+3）•y

=（x﹣19）•（﹣10x+500）

=﹣10x2+690x﹣9500

=﹣10（x﹣34.5）2+2402.5

∴当定价34.5元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5元．