Question

如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．

（1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由．

Answer

（1）k=；（2）△OPA的面积S=x+18 （﹣8＜x＜0）；（3）点P坐标为（，）或（，）时，三角形OPA的面积为．

【解析】

（1）将点E坐标（﹣8，0）代入直线y=kx+6就可以求出k值，从而求出直线的解析式；

（2）由点A的坐标为（﹣6，0）可以求出OA=6，求△OPA的面积时，可看作以OA为底边，高是P点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式就可以表示出△OPA．从而求出其关系式；根据P点的移动范围就可以求出x的取值范围．

（3）分点P在x轴上方与下方两种情况分别求解即可得.

（1）∵直线y=kx+6过点E（﹣8，0），

∴0=﹣8k+6，

k=；

（2）∵点A的坐标为（﹣6，0），

∴OA=6，

∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，

∴△OPA的面积S=×6×（x+6）=x+18 （﹣8＜x＜0）；

（3）设点P的坐标为（m，n），则有S△AOP=，

即，

解得：n=±，

当n=时，=x+6，解得x=，

此时点P在x轴上方，其坐标为（，）；

当n=-时，-=x+6，解得x=，

此时点P在x轴下方，其坐标为（，），

综上，点P坐标为：（，）或（，）.