Question

如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=1+；⑤S_{正方形ABCD}=4+．其中正确结论的序号是              ．

Answer

①③⑤

【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等； 

②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF； 

③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证； 

④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可； 

⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．

①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°， 

∴∠EAB=∠PAD， 

又∵AE=AP，AB=AD， 

∵在△APD和△AEB中， 

， 

∴△APD≌△AEB（SAS）； 

故此选项成立； 

③∵△APD≌△AEB， 

∴∠APD=∠AEB， 

∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE， 

∴∠BEP=∠PAE=90°， 

∴EB⊥ED； 

故此选项成立； 

②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， 

∵AE=AP，∠EAP=90°， 

∴∠AEP=∠APE=45°， 

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， 

∴∠FEB=∠FBE=45°， 

又∵BE= = = ， 

∴BF=EF= ， 

故此选项不正确； 

④如图，连接BD，在Rt△AEP中，

∵AE=AP=1， 

∴EP= ， 

又∵PB= ， 

∴BE= ， 

∵△APD≌△AEB， 

∴PD=BE= ， 

∴S △ABP+S △ADP=S △ABD-S △BDP= S 正方形ABCD- ×DP×BE= ×（4+ ）- × × = + ． 

故此选项不正确． 

⑤∵EF=BF= ，AE=1， 

∴在Rt△ABF中，AB 2=（AE+EF） 2+BF 2=4+ ， 

∴S 正方形ABCD=AB 2=4+ ， 

故此选项正确． 

故答案为：①③⑤．