Question

如图，和都是等边三角形，连接AC，DE，CD.

（1）猜想AC与DE的数量关系，并说明理由。

（2）给出定义：若一个四边形中存在一组邻边的平方等于一条对角线的平方，则这个四边形为勾股四边形.如图，若，求证：四边形ABCD是勾股四边形。

（3）设，，的面积分别是，若，试探究与之间满足的等量关系。

Answer

(1) AC=DE，理由见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)证明△ABC≌△DBE即可得AC=DE；

(2)先证明△CDE为直角三角形, 得CE²+CD²=DE²,再由CE=CB，DE=AC得CB²+CD²=AC²,从而得出结论;

(3) 分别表示出S₁,S₂, S₃,再结合线段找出它们之间的关系.

(1)解: ∵,

∴△ABC≌△DBE(ASA),

∴AC=DE;

(2)证明: ∵∠DCE=90°,

∴△CDE为直角三角形,

∴CE²+CD²=DE²,

又∵CE=CB,DE=AC,

∴CB²+CD²=AC²,

∴四边形ABCD是勾股四边形;

(3)解:在等边△ABD与等边△BCE中,

S₁=BD ²,S₂=BC²;

在直角三角形DBC中,S₃=BD·BC,

∵S₁·S₂=(BD·BC) ²=((BD·BC) ²=S₃ ²,

∴.