Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，点C在线段OA上，将沿直线BC翻折，点A与y轴上的点D（0,4）恰好重合.

（1）求直线AB的表达式.

（2）已知点E（0,3），点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B重合），连接PD，PE，当PDE的周长取得最小值时，求点P的坐标。

（3）在坐标轴上是否存在一点H，使得HAB和ABC的面积相等？若存在，求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

（1） ；（2）P（）；（3）存在这样的H点使之成立；，，

【解析】

（1）根据翻折求出点A的坐标,代入即可求得;

（2）求出直线AE和直线BC的解析式,联立可求出点P的坐标;

（3）分两种情况,当点H在x轴上和在y轴上分析.

(1) 对于直线,

当x=0时,y=-6,

又∵D（0,4）,

∴BD=10,

由翻折知AB=BD=10,

根据勾股定理得OA===8,

∴A(8,0),

把A(8,0)代入得k=,

∴y=

(2)过点D作BC的对称点A(8,0),

∵E(0,3) ,

∴直线AE的解析式为y=-x+3,

∵A,D关于BC对称,

∴OP=OP,PDE的周长=DE+DP+EP,

设OC=x,则CD=CA=8-x,

在Rt△DOC中,x²+4²=(8-x)²,解得x=3,

∴C(3,0)

∵C(3,0),B(0,-6),

∴直线BC的解析式为y=2x-6,

联立,解得,

∴P（）；

(3) 存在这样的H点使之成立,

∵=×AC×BO=×5×6=15,

∴当点H在x轴上时,得;

当点H在y轴上时,设H(0,a),

∵=∣a+6∣·8=15,即a=-或-,

∴综上,，，.