Question

对x，y定义一种新运算x[]y= （其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则混合运算，例如：0[]2= =﹣2b．已知1[]2=3，﹣1[]3=﹣2．请解答下列问题．

(1)求a，b的值；

(2)若M=（m²﹣m﹣1）[]（2m﹣2m²），则称M是m的函数，当自变量m在﹣1≤m≤3的范围内取值时，函数值M为整数的个数记为k，求k的值；

Answer

（1）a的值为8，b的值为﹣1；（2）13

【解析】

（1）结合新运算的定义，代入数据，解一元二次方程即可得出结论；

（2）将a、b的值代入原定义式中，用m表示出M，由二次函数的性质即可找出M的取值范围，从而得出k的值.

（1）由1[]2=3，﹣1[]3=﹣2，得

，解得．

答：a的值为8，b的值为﹣1．

(2)把a=8，b=﹣1代入x[]y=，得x[]y=，

M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2）=﹣2m2+2m+4=﹣2+，

又∵﹣1≤m≤3，

∴当m=时，M取最大值；

当m=﹣1时，M=0；

当m=3时，M=﹣8．

∴﹣8≤M≤=4，

∴k=8+4+1=13．