Question

如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．

（1）若AD=6，BE=8，求EF的长；

（2）求证：CE=EF；

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

Answer

（1）EF =2.5；（2）证明见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.

【解析】

试题（1）等腰直角三角形的斜边长是直角边的 倍，得到DE=3由于BE=4，利用勾股定理，得BD=5，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得以解决；

（2）连接CF,需要证明 是等腰直角三角形，根据四点共圆，得到点F是四边形DCBE的外接圆，且F是圆心,根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得 从而 ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得 ，得证 是等腰直角三角形，结论得证；

（3）连接CF，延长EF交CB于点G，利用ASA证明△EDF≌△GBF，得出EF=GF，BG=DE=AE，进而证明CE=CG,得出△CEF为等腰直角三角形，利用三线合一证明 结论得证。

试题解析：

（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3，

∴AE=DE=3，

在Rt△BDE中，

∵DE=3，BE=4，

∴BD=5，

又∵F是线段BD的中点，

∴EF=BD=2.5；

（2）连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE；

∵∠AED=∠ACB=90°

∴B、C、D、E四点共圆

且BD是该圆的直径，

∵点F是BD的中点，

∴点F是圆心，

∴EF=CF=FD=FB，

∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，

由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE，

∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°

∴∠ECF=45°=∠CEF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE=EF．

（3）（1）中的结论仍然成立．

如图，连接CF，延长EF交CB于点G，

∵∠ACB=∠AED=90°，

∴DE∥BC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EDF和△GBF中，

，

∴△EDF≌△GBF，

∴EF=GF，BG=DE=AE，

∵AC=BC，

∴CE=CG，

∴∠EFC=90°，CF=EF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∴CE=FE；