Question

如图1，已知抛物线y=﹣x²﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．

（1）求直线AD的解析式．

（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．

（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）y=3x+15；（2）点R的坐标是（0，17），最大值为；（3）存在，P（ ），P′（），面积为

【解析】

(1)根据抛物线的解析式求得点A、D的坐标，然后利用待定系数法来求直线AD的解析式即可;

(2)根据平行线的性质和函数图象上点的坐标特征易得

ME'＋ NF'＝－m2－7m－10－m2－9m－18＝2m2－16m－28;结合二次函数最值的求法和两点间线段最短得到:要使|RE′－ RF′|值最大，则点E'、F′、R三点在一条直线上,只需求得点E'、F'的坐标，利用待定系数法推知直线E'F'关系式，由该关系式来求点R的坐标即可;

(3)当PA ＝ PC时,点P在线段AC的垂直平分线上,结合三角形的面积公式进行解答.

（1）如图1，∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+5）（x﹣1）或y=﹣（x+2）2+9，

∴A（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）．

设直线AD的解析式为：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐标代入，得

，

解得．

故直线AD的解析式为：y=3x+15；

（2）如图1，∵EE′∥y轴，FF′∥y轴，E（m，0）、F（m+1，0），

∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），

∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，

∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．

∵﹣2＜0，

∴m=﹣=﹣4，

∴ME′+NF′有最大值，此时E′（﹣4，5），F′（﹣3，8），

要使|RE′﹣RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，

∴设直线E′F′：y=kx+b（k≠0），则

，

解得，

∴直线E′F′：y=3x+17（k≠0）．

当x=0时，y=17，则点R的坐标是（0，17）．

此时，|RE′﹣RF′|的最大值为=；

（3）如图2，设点P（x，﹣x2﹣4x+5）．

当PA=PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，

∵OC=OA，

∴点O在线段AC的垂直平分线上，

∴点P在∠AOC的角平分线上，

∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，

解得x1=，x2=，

∴P（，），P′（，）．

∴PH=OP﹣OH=，P′H=OP′+OH=，

∴S△PAC=AC•PH=×5×=或S△PAC=AC•P′H=×5×=．