Question

如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使S_△ABM=，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC，BD的交点，连接ON，则ON的长为________．

Answer

【解析】

】先根据三角形的面积公式求出BM的长，由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM=，利用对应线段的比相等可求得AN和MN，进一步可得到=，且∠CAM=∠NAO，可证得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON.

∵正方形ABCD的边长为3，S△ABM=，

∴BM=，

∵AB=3，BM=1，

∴AM=，

∵∠ABM=90°，BN⊥AM，

∴△ABN∽△BNM∽△AMB，

∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，

∴AN=，MN=，

∵AB=3，CD=3，

∴AC=3，

∴AO=，

∵=，=，

∴=，且∠CAM=∠NAO，

∴△AON∽△AMC，

∴==，

∴ON=．

故答案为：．