Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂线平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，连接AE，DF.

求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF//AC；（3）∠EAC=∠B.

Answer

见解析

【解析】

（1）由EF是AD的垂直平分线可得AE=DE，由此即可得到∠EAD=∠EDA；

（2）由EF是AD的垂直平分线可得AF=DF，由此可得∠FAD=∠FDA，由AD平分∠BAC可得∠FAD=∠CAD，从而可得∠FDA=∠CAD，由此即可得到DF∥AC；

（3）由三角形外角的性质可得∠EAC=∠EAD-∠CAD，∠B=∠EDA-∠BAD结合∠EAD=∠EDA，∠BAD=∠CAD即可得到∠EAC=∠B.

（1）∵ EF是AD的垂直平分线，

∴AE=DE，

∴∠EAD=∠EDA；

（2）∵ EF是AD的垂直平分线，

∴AF=DF，

∴∠FAD=∠FDA，

∵AD是∠BAC平分线，

∴∠FAD=∠CAD，

∴∠FDA=∠CAD，

∴DF//AC；

（3）∵∠EAC=∠EAD -∠CAD，∠B=∠EDA -∠BAD，∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，

∴∠EAC=∠B.