Question

如图，∠ECF＝90°，线段 AB 的端点分别在 CE 和 CF 上，BD 平分∠CBA，并与∠CAB 的外角平分线 AG 所在的直线交于一点 D．

（1）∠D 与∠C 有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）

（2）点 A 在射线 CE 上运动，（不与点 C 重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）根据角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和定理整理即可得出答案；

（2）根据（1）中结论即可推理得出答案．

（1）∠C＝2∠D 即：∠D＝45°．

∵BD平分∠CBA，AG平分∠EAB，∴∠EAB＝2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA．

∵∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠BAC+∠ABC＝90°，即180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，整理得出∠GAB﹣∠DBA＝45°，∴∠D∠C＝45°；

（2）当A在射线CE上运动（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立．

∵∠CAB+∠ABC＝∠C＝90°，不论A在CE上如何运动，只要不与C点重合，这个关系式都是不变的，整理这个式子：∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA，得：180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，整理得：∠GAB﹣∠DBA＝45度，恒定不变，即：∠D＝45°的结论不变，∴∠C＝2∠D恒成立．