Question

在△ABC 中，BC＝AC，∠BCA＝90°，P 为直线 AC 上一点，过 A作 AD⊥BP 于 D，交直线 BC 于 Q．

(1)如图 1，当 P 在线段 AC 上时，求证：BP＝AQ．

(2)当 P 在线段 AC 的延长线上时，请在图 2 中画出图形，并求∠CPQ．

(3)如图 3，当 P 在线段 AC 的延长线上时，∠DBA＝      时，AQ＝2BD．

Answer

（1）见解析；（2） 45°；（3） 22.5°．

【解析】

（1）首先根据内角和定理得出∠DAP＝∠CBP，进而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；

（2）首先证明△AQC≌△BPC（ASA），进而得出PC＝CQ，利用等腰三角形的性质得出即可；

（3）首先证明∠P＝∠Q，进而得出△ACQ≌△BCP（ASA），即可得出BP＝AQ，求出即可．

（1）∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∠APD＝∠BPC，∴∠DAP＝∠CBP．

在△ACQ和△BCP中，∵，∴△ACQ≌△BCP（ASA），∴BP＝AQ；

（2）如图2所示：

∵∠ACQ＝∠BDQ＝90°，∠AQC＝∠BQD，∴∠CAQ＝∠DBQ．

在△AQC和△BPC中，∵，∴△AQC≌△BPC（ASA），∴QC＝CP．

∵∠QCD＝90°，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°；

（3）当∠DBA＝22.5°时，AQ＝2BD．

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠P＝22.5°，∴∠DBA＝∠P，∴AP＝AB．

∵AD⊥BP，∴AD＝DP．

∵∠ACQ＝∠ADP＝90°，∠PAD＝∠QAC，∴∠P＝∠Q．在△ACQ和△BCP中，∵

，∴△ACQ≌△BCP（ASA），∴BP＝AQ，∴此时AQ＝BP＝2BD．

故答案为：22.5°．