Question

如图1，A（m，0），B（0，n），且m，n满足（m﹣2）²0．

（1）求S_△ABO；

（2）点C为y轴负半轴上一点，BD⊥CA交CA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAO，求的值；

（3）点E为y轴负半轴上一点，OH⊥AE于H，HO，AB的延长线交于点F，G为y轴正半轴上一点，且BG＝OE，FG，EA的延长线交于点P，求证：点P的纵坐标是定值．

Answer

（1）2；（2）；（3）1

【解析】

（1）利用非负性得出m，n值，即可得出点A，B坐标，最后用三角形的面积公式即可；

（2）先求出先求出OC，进而得出22.5°的正切值，再求出AC的平方，再求出BD的平方即可；

（3）设出点E坐标，用待定系数法和直线交点坐标即可确定出点P坐标即可得出结论．

（1）∵（m﹣2）20，∴m＝n＝2，∴A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴S△AOBOA×OB＝2；

（2）如图1，在OC上取一点E，使OE＝OA＝2，由（1）知，OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴AE＝2．

∵∠BAD＝∠CAO，∴∠BAD＝∠CAO＝67.5°．

∵∠ADB＝∠AOC＝90°，∴∠ABD＝∠ACO＝22.5°，∴CE＝AE＝2，∴OC＝OE+CE＝2（1），∴AC2＝OA2+OC2＝4+4（1）2＝8（2），tan∠ACO1．

在Rt△ABD中，tan∠ABD＝tan22.5°＝tan∠ACO1，∴AD＝（1）BD．

在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，∴AB＝2，根据勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，∴[（1）BD]2+BD2＝8，∴BD2＝2（2），，∴；

（3）如图2，由（1）知，A（2，0），B（0，2），∴直线AB解析式为y＝﹣x+2①，设E（0，a），∴OE＝|a|＝﹣a．

∵BG＝OE，∴BG＝﹣a，∴OG＝2﹣a，∴G（0，2﹣a）．

∵A（2，0），E（0，a），∴直线AE解析式为yx+a②．

∵OH⊥AE，∴直线OH解析式为yx③，联立①③得：x，y，∴F（）．

∵G（0，2﹣a），∴直线FG的解析式为yx+2﹣a④，联立②④得：x，y＝1，∴P（，1），∴点P的纵坐标是定值，定值为1．