Question

如图：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，M是直线BC上的任意一点，在射线EF上截取EN，使EN=FM，连接DM、MN、DN．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你按已知要求补全图形，并判断△DMN是怎样的特殊三角形（不要求证明）；

（2）请借助图②解答：当点M在线段BF上（与点B、F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）请借助图③解答：当点M在射线FC上（与点F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立？不要求证明．

Answer

（1）图详见解析，△DMN是等边三角形；（2）△DMN仍是等边三角形，证明详见解析；（3）△DMN不是等边三角形．

【解析】

（1）连接DF，根据等边三角形的性质与三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质可以证明DF=BD=EF=BF，然后证明BM=FN，∠MBD=∠NFD=120°，从而证明△BDM与△FDN全等，根据全等三角形对应边相等可得MD=DN，对应角相等可得∠MDB=∠NDF，然后证明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等边三角形；（2）连接DF，根据等边三角形的性质与三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质可以证明DF=BD=EF=BF，然后证明BM=FN，∠MBD=∠NFD=60°，从而证明△BDM与△FDN全等，根据全等三角形对应边相等可得MD=DN，对应角相等可得∠MDB=∠NDF，然后证明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等边三角形； （3）沿用前两问的思路，显然不能证明△CDM与△FDN全等，所以△DMN不是等边三角形．

【解析】
（1）如图①，

△DMN是等边三角形．

（2）如图②，当M在线段BF上（与点B、F重合）时，△DMN仍是等边三角形．

证明：连接DF，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，AB=AC=BC．

∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，

∴DE、DF、EF是等边三角形的中位线．

∴DF=AC，BD=AB，EF=AB，BF=BC．

∴∠BDF=∠A=∠DFE=60°，DF=BF=EF，

∴∠ABC=∠DFE，

∵FM=EN，

∴BM=NF，

∴△BDM≌△FDN，

∴∠BDM=∠FDN，MD=ND，

∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°，

△DMN是等边三角形；

（3）如图③或图④，当点M在射线FC上（与点F不重合）时，（1）中的结论不成立，

即△DMN不是等边三角形．