Question

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是边BC的中点，连接 DH与 BE相交于点 G，若GE＝3，则BF＝_____．

Answer

6

【解析】

求出 BG＝GC，求出∠EGC＝∠ECG，推出 CE＝GE，进而利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．

【解析】
连接 CG，

∵BD＝DC，H 为 BC 中点，

∴DH 为 BC 垂直平分线，

∴BG＝CG，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠GCB，

∵∠ABC＝45°，∠ABE＝∠CBE，

∴∠EGC＝∠CBE+∠GCB＝45°，

∵∠GEC＝90°，

∴∠ECG＝45°＝∠EGC，

∴GE＝CE＝3．

∵BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于点 E，

∴AE＝EC＝3，

∴AC＝6，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠DCB＝45°＝∠DBC，

∴BD＝DC，

在△BDF 和△CEF 中，

∵∠BDC＝∠BEC＝90°，∠DFB＝∠EFC，

∴∠DBF＝∠ECF， 在△BDF 和△CDA 中

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF＝AC＝6； 故答案为：6；