Question

如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D，E分别在AB，BC上，且AD＝BE，BD＝AC，过E作EF⊥AB于F．

（1）求证：∠FED＝∠CED；

（2）若 BF＝，直接写出 CE的长为_______．

Answer

（1）证明见解析；（2）5.

【解析】

（1）连接 CD，利用 SAS 定理证明△ADC≌△BED，根据全等三角形的性质得到 DC＝DE，∠DCA＝∠EDB，根据等角的余角相等证明；

（2）作 DH⊥EC 于 H，根据等腰三角形的性质得到 EH＝HC＝EC，∠EDH＝∠CDH，根据角平分线的性质得到 EF＝EH，计算即可．

【解析】
（1）连接 CD，

∵AC＝BC，∠ACB＝90，

∴∠A＝∠B＝45°，

ADC 和△BED 中，

∴△ADC≌△BED（SAS），

∴DC＝DE，∠DCA＝∠EDB，

∴∠ECD＝∠CED

∠DCA+∠ECD＝∠EDB+∠FED＝90°，

∴∠FED＝∠ECD，

∴∠FED＝∠CED；

（2）作 DH⊥EC 于 H，

∵DC＝DE，DH ⊥EC，

∴EH＝HC＝ EC，∠EDH＝∠CDH，

∵DH∥AC，

∴∠CDH＝∠ACD，

∴∠FDE＝∠FDH，又 EF⊥AB，EH⊥DH，

∴EF＝EH＝EC，

∵∠BFE＝90°，∠B＝45°，

∴EF＝BF＝ ，

∴EC＝5，

故答案为：5．