Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．

（1）如图，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得 DA＝CD，这个性质是__________.

（2）问题解决：如图，求证AD＝CD；

（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．

Answer

（1）角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据角平分线的性质定理解答；

（2）作 DE⊥BA 交 BA 延长线于 E，DF⊥BC 于 F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；

（3）在 BC 时截取 BK＝BD，连接 DK，根据（2）的结论得到 AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到 KD＝KC，结合图形证明．

【解析】
（1）∵BD 平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，

∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），

故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；

（2）如图 2，作DE⊥BA 交 BA延长线于 E，DF⊥BC 于 F，

∵BD 平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，

∴DE＝DF，

∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠C，

在△DEA 和△DFC 中，

∴△DEA≌△DFC（AAS），

∴DA＝DC；

（3）如图，在 BC 时截取 BK＝BD，连接 DK，

∵AB＝AC，∠A＝100°，

∴∠ABC＝∠C＝40°，

∵BD 平分∠ABC，

∴∠DBK＝∠ABC＝20°，

∵BD＝BK，

∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝80°， 由（2）的结论得 AD＝DK，

∵∠BKD＝∠C+∠KDC，

∴∠KDC＝∠C＝40°，

∴DK＝CK，

∴AD＝DK＝CK，

∴BD+AD＝BK+CK＝BC．