Question

阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．

（1）如图1，在△ABC中，若 AB＝12，AC＝8，求 BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使 DE＝AD，再连接 BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线 AD的取值范围是_______.

问题解决：

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，CD上的两点，且∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF．

问题拓展：

（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC 外角平分线上一点，DE⊥AC交 CA延长线于点E，F是 AC上一点，且DF＝DB．

求证：AC﹣AE＝AF．

Answer

（1）2＜AD＜10；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）延长 AD 到点 E 使 DE＝AD，连接 BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到 BE＝AC，根据三角形三边关系计算；

（2）延长 CB 到 G，使 BG＝DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到 AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明；

（3）作 DH⊥AB 于 H，在 AB 上截取 BR＝AF，分别证明 Rt△DEF≌Rt△DHB，

△DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明．

【解析】
（1）延长 AD 到点E使 DE＝AD，连接 BE，

在△ADC 和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE＝AC＝8，

AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即21﹣8＜2AD＜12+8，

∴2＜AD＜10，

故答案为：2＜AD＜10；

（2）证明：延长 CB 到 G，使 BG＝DF，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，

∴∠ADC＝∠ABG，

在△ABG 和△ADF 中，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，

∵∠EAF＝ ∠BAD，

∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝ ∠BAD，

∴∠GAE＝∠FAE，

在△AEG 和△AEF 中，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴EF＝GE，

∴EF＝BE+BG＝BE+DF；

（3）证明：作 DH⊥AB 于 H，在 AB 上截取 BR＝AF，

∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC，

∵点 D 是△ABC 外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，

∴DE＝DH，AH＝AE，

在 Rt△DEF 和 Rt△DHB 中，

∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）

∴∠DFA＝∠DBA，

在△DAF 和△DRB 中，

∴△DAF≌△DRB（SAS）

∴DA＝DR，

∴AH＝HR＝AE＝ AR，

∵AF＝BR＝AB﹣AR＝2AC﹣2AE

∴AC﹣AE＝AF．