Question

如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x正半轴上．

（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．

（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝DC？请求出点C的坐标；

（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．

Answer

（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）.

【解析】

（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；

（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出 CD，得到答案；

（3）以 OA 为对称轴作等边△ADE，连接 EP，并延长 EP 交 x 轴于点 F．证明点 P 在直线 EF 上运动，根据垂线段最短解答．

【解析】
（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，

∵∠BAO＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∴AB＝2OA＝6，

∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，

∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，

∵BD 是△ABC 的角平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝40°，

∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，

∴DB＝DC，

在△OBD 和△HCD 中，

∴△OBD≌△HCD（ASA），

∴OB＝HC，

在△AOB 和△FHC 中，

∴△AOB≌△FHC（ASA），

∴CF=AB=6，

故答案为6；

（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，

∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，

∴∠ABC＝∠DBQ，

在△CBA 和△QBD 中，

∴△CBA≌△QBD（SAS），

∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，

∴∠PDO＝60°，

∴PD＝2DO＝6，

∵PD＝DC，

∴DC＝9，即 OC＝OD+CD＝12，

∴点 C的坐标为（12，0）；

（3）如图3，以 OA为对称轴作等边△ADE，连接 EP，并延长 EP交 x 轴于点F．

由（2）得，△AEP≌△ADB，

∴∠AEP＝∠ADB＝120°，

∴∠OEF＝60°，

∴OF＝OA＝3，

∴点P在直线 EF上运动，当 OP⊥EF时，OP最小，

∴OP＝OF＝

则OP的最小值为．