Question

如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相交于点D，AD平分∠BAC．

（1）求证，BC是⊙O的切线．

（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）3

【解析】

（1）先连接OD，再由OD∥AC和AC⊥BC可知OD⊥BC从而得证；
（2）利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出．

（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∵OA=OD

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3；

∴OD∥AC，

又∵AC⊥BC，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切线，

（2）【解析】
∵BC与圆相切于点D．

∴BD2=BE•BA，

∵BE=2，BD=4，

∴BA=8，

∴AE=AB﹣BE=6，

∴⊙O的半径为3．