Question

如图，在中，，，．

(1)求内切圆的半径；

(2)若移动圆心的位置，使保持与的边、都相切．

①求半径的取值范围；

②当的半径为时，求圆心的位置．

Answer

(1)1；(2)①半径的取值范围是：；②圆心在的平分线上，且到的距离是．

【解析】

（1）利用勾股定理即可求得△ABC的面积，然后根据S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC即可求解；

（2）①当切点E与A重合时，半径最大，最大值为；②当⊙O的半径为时，作于点，则，由相似三角形对应边成比例可得，即可求得．

(1)在直角中，，

设内切圆的半径是：，

则，

即，

解得：；

(2)①当与边相切于时，圆的半径最大，如图，过圆心作于点，连接，

则，，

设半径是，则，

即，

解得：，

则半径的取值范围是：；

②当与边相切于时，圆心用表示，则，

当的半径为时，求圆心用表示，作于点，则、、在一条直线上，

，

∴，

即，

解得：．

则圆心在的平分线上，且到的距离是．