Question

如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3， BC＝4．点 P 为 AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ）

A. 1个    B. 2 个    C. 3 个    D. 4 个

Answer

B

【解析】

由于∠PAD＝∠PBC＝90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况

讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 AP 的长，即可得到 P 点的个数．

∵AB⊥BC，

∴∠B＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，

∴∠PAD＝∠PBC＝90°，

设AP的长为x，则BP长为7﹣x；

若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

①若△APD∽△BPC，则 AP：BP＝AD：BC， 即 x：（7﹣x）＝3：4，

解得：x＝3

②若△APD∽△BCP，则 AP：BC＝AD：BP， 即 x：4＝3：（7﹣x），

解得：x＝4或3．

∴满足条件的点 P 的个数是 2个，

故选：B．