Question

在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H．

（感知）如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，则 S _{四边形AEOG}＝       S _{正方形 ABCD}；

（拓展）如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S _{四边形 AEOG}＝S _{矩形 ABCD}，设 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的长（用含 a、b、m 的代数式表示）；

（探究）如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 试确定 F、G、H 的位置，使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分．

Answer

【感知】；【拓展】AG＝；【探究】当 AG＝CH＝，BE＝DF＝1 时，直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分．

【解析】

感知：如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；

拓展：如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝ AG•a，于是得到结论；

探究：如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝ ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．

感知：如图①，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，

在△AOG与△BOE中，，

∴△AOG≌△BOE，

∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形 ABCD；

故答案为：；

拓展：如图②，过O作ON⊥AD于 N，OM⊥AB于M，

∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，

∴S△AOB＝S四边形AEOG，

∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，

∴S△BOE＝S△AOG，

∵S△BOE＝BE•OM＝m·b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a，

∴mb＝AG•a，

∴AG＝；

探究：如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，

则 KL＝2OK，PQ＝2OQ，

∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，

∴3×2OK＝5×2OQ，

∴＝，

∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，

∴S△AOB＝S四边形AEOG，

∴S△BOE＝S△AOG，

∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，

∴×1×OK＝AG•OQ，

∴＝AG＝，

∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．