Question

如图，在等腰Rt△ABC中，角ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合）连接AP，延长BC至点Q，使 CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．

(1)∠APC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

(2)在（1）的条件下，过点M作ME⊥QB于点E，试证明 PC 与 ME 之间的数量关系，并证明．

Answer

（1）∠AMQ＝45°+α；（2）PC＝ME；

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，由直角三角形的性质即可得出结论；

（2）由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，

（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：

∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，

∵QH⊥AP，

∴∠AHM=90°，

∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；

（2）结论：PC=ME．

理由：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：

∵AC⊥QP，CQ=CP，

∴∠QAC=∠PAC=α，

∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，

∴AP=AQ=QM，

在△APC和△QME中，

，

∴△APC≌△QME（AAS），

∴PC=ME，