Question

如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

(1)证明：DE为⊙O的切线；

(2)若BC=4，求阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得∠BDC=90°，又由等腰△ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；（2）根据三角函数的性质，求得CD、CE、DE的长，根据S阴=S四边形ODEC﹣S扇形ODC即可求得阴影部分的面积．

（1）证明：连接OD，CD，

∵BC为⊙O直径，

∴∠BDC=90°，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵∠A=∠B=30°，BC=4，

∴CD=BC=2，CE=CD=1，DE=CD•cos30°=，

∴S阴=S四边形ODEC﹣S扇形ODC=（1+2）×﹣=﹣．