Question

已知二次函数y=﹣x²+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）．

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．

Answer

(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)当m=时，S最大，此时Q（，）．

【解析】

（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，解方程即可得到结论；

（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小．根据抛物线解析式求出B（0，3），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论；

（3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，连接QA，QB，OQ，根据S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB求出S与m的关系式，利用函数的性质求出m的值，进而得到结论．

（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，

得，解得，

则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小．

在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，则B（0，3）．

设直线AB的解析式为y=mx+n，

∵A（3，0），B（0，3），

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y=-x+3，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴对称轴是直线x=1．

当x=1时，y=-1+3=2，

∴P（1，2）；

（3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ．

则S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB

=×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3

=-m2+m

=-（m-）2+，

∴当m═时，S最大，此时Q（，）．