Question

如图，等边△ABC的边长为 1，CD⊥AB 于点 D，E 为射线 CD 上一点，以BE为边在 BE 左侧作等边△BEF，则DF的最小值为_____．

Answer

【解析】

首先证明△CBE≌△ABF，推出∠BAF=∠BCE，由CA=CB，CD⊥AB，推出∠BCE=∠ACB=30°，AD=BD=4，推出∠BAF=30°=定值，根据垂线段最短可知，当DF⊥AF时，DF的值最小．

如图，

∵△ABC，△BEF的是等边三角形，

∴AB=BC，BF=BE，∠ABC=∠ACB=∠EBF=60°，

∴∠CBE=∠ABF，

在△BCE和△BAF中，

，

∴△CBE≌△ABF（SAS），

∴∠BAF=∠BCE，

∵CA=CB，CD⊥AB，

∴∠BCE=∠ACB=30°，AD=BD=，

∴∠BAF=30°是定值，

∴根据垂线段最短可知，当DF⊥AF时，DF的值最小，

∴DF的最小值=AD=．

故答案为．