Question

已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O

（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；

（2）点M在BC的延长线上，点N在AC上，且ND＝NM，连接BN．

①如图2，点N在线段CO上，求∠NMD的度数；

②如图3，点N在线段AO上，求证：NA＝MC．

Answer

（1）详见解析；（2）①详见解析.②详见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质证明即可；

（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，证明△AND≌△CMD，再利用全等三角形的对应边相等证明即可．

证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，

①以点C 为旋转中心，将线段 CA 按顺时针方向旋转 60°得到线段 CD，

∴CD＝CA，∠ACD＝∠ACB＝60°，

∴BO＝DO，CO⊥BD，

∴AC 垂直平分 BD；

（2）①如图2，由①知AC垂直 平分BD，

∴NB＝ND，∠CBD＝∠ABC＝30°，

∴∠NDO＝∠NBO

∴∠BND＝180°﹣2∠NBO

∵ND＝NM，

∴NB＝NM，

∴∠3＝∠4，∠BNM＝180°﹣2∠4，

∴∠DNM＝360°﹣180°+2∠NBO﹣180°+2∠4＝2（∠NBO+∠4）＝60°，

②连接 AD，如图 3，

由题意知，△ACD 是等边三角形，

∴∠ADC＝60°，AD＝CD，

与（1）同理可证∠1＝∠NBO，∠3＝∠NBM，

∠BND＝180°﹣2∠NBO，∠BNM＝180°﹣2∠NBM，

∴∠MND＝∠BND﹣∠BNM＝2（∠NBM﹣∠NBO）＝60°，

∵ND＝NM，

∴△MND 是等边三角形，

∴DN＝DM，∠NDM＝60°，∠ADC＝∠NDM，

∴∠NDA＝∠MDC，在△AND 与△MDC 中

，

∴△AND≌△CMD，

∴NA＝MC．