Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A（a，0）点 B（0，b），且a、b满足a²+4a+4+|2a+b|＝0

（1）a＝      ；b＝    ．

（2）点 P 在直线AB的右侧，且∠APB＝45°

①若点P在x轴上，则点P的坐标为    ；

②若△ABP 为直角三角形，求点P的坐标；

（2）如图2，在（2）的条件下，点P在第四象限，∠BAP＝90°，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，连接MN，求证：MP平分△BMN的一个外角．

Answer

（1）﹣2，4；（2）①（4，0）；②P（4，2）或（2，﹣2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）利用非负数的和等于0，即可建立方程组求出a，b；

（2）①利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；

②分两种情况，利用等腰三角形的性质，及全等三角形的性质求出PC，BC，即可得出结论；

（3）先判断出∠PMG=∠AHP，再SSS判断出△PMN≌△PHN，得出∠AHP=∠PMN，即可得出结论．

（1）∵a2+4a+4+|2a+b|＝0，

∴（a+2）2+|2a+b|＝0，

∴a＝﹣2，b＝4，

故答案为：﹣2，4；

（2）①如图 1，由（1）知，b＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

点 P 在直线 AB 的右侧，且在 x 轴上，

∵∠APB＝45°，

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0），

故答案为：（4，0）；

②由（1）知 a＝﹣2，b＝4，

∴A（﹣2，0），B（0，4），

∴OA＝2，OB＝4，

∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，

∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，

如图 3，

Ⅰ、当∠ABP＝90°时，∵∠APB＝∠BAP＝45°，

∴AB＝PB ，

过点 P 作 PC⊥OB 于 C，

∴∠BPC+∠CBP＝90°，

∵∠CBP+∠ABO＝90 °，

∴∠ABO＝∠BPC，

在△AOB和△BCP中，

∴△AOB≌△BCP（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝2，

∴P（4，2），

Ⅱ、当∠BAP＝90°时， 过点 P'作 P'D⊥OA 于 D，

同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，

∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣OA＝2，

∴P'（2，﹣2）；

即：满足条件的点 P（4，2）或（2，﹣2）；

（3）如图 2，由（2）知点 P（2，﹣2），

∵A（﹣2，0），

∴直线 AP 的解析式为 y＝﹣x﹣1，

∴M（0，﹣1），

∴BM＝5，

同理：直线 BP 的解析式为 y＝﹣3x+4，

∴N（，0），

∴MN＝，

过点 P 作 PH∥AB 交 x 轴于 H，

∵∠BAP＝90°，

∴∠BAO+∠PAH＝90°，

∴∠BAO+∠ABM＝90°，

∴∠ABM＝∠PAH，

在△ABM和△PAH中，

，

∴△ABM≌△PAH（ASA），

∴∠AMB＝∠PHA，AH＝BM＝5，

∴∠PMG＝∠PHA，OH＝AH﹣OA＝3，

∴H（3，0），

∴NH＝3﹣＝＝MN，

∵P（2，﹣2），M（0，﹣1），H（3，0），

∴PM＝，PH＝，

∴PM＝PH，

∴△PNM≌△PNH（SSS），

∴∠AHP＝∠PMN，

∴∠PMG＝∠PMN，

即：MP 是△BMN 的一个外角的平分线．