Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②CD＝8；③tan∠E＝；④S_△ADE＝6，其中正确的有个数是（    ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

B

【解析】

①利用垂径定理可知弧AC=弧AD，可知∠ADF=∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED；

②结合CF=2，且=，可求得DF=6，且CG=DG，可求得CD=8；

③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tanADG=，且∠E=∠ADG，可判断出③；

④可先求得S△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比和面积比的关系，可求出S△ADE=7．

【解析】
①∵AB为直径，AB⊥CD，

∴弧AC=弧AD，

∴∠ADF=∠AED，且∠FAD=∠DAE，

∴△ADF∽△AED，

∴①正确；

②∵AB为直径，AB⊥CD，

∴CG=DG，

∵=，且CF=2，

∴FD=6，

∴CD=8，

∴②正确；

③在Rt△AGF中，FG=CG-CF=4-2=2，

∵AF=3，

∴AG===，且DG=4，

∴tan∠ADG=＝，

∵∠E=∠ADG，

∴tan∠E=，

∴③错误；

④在Rt△ADG中，AG=，DG=4，

∴AD===，

由①知：△ADF∽△AED，

∴=()2，

∵S△ADF=DF•AG=×6×=3，

∴=()2=，

∴S△ADE=7，

∴④错误；

∴正确的有①②，两个．

故选：B．