Question

如图，已知双曲线y=（x＞0）图象上两点，过A、B两点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D，连接AD、BC，则：

（1）若A、B两点的坐标分别是（1，4）、（4，1），求S_△OAB；

（2）证明：S_△ABD=S_△ABC．

（3）连接CD，判断CD与AB的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）CD∥AB，理由见解析

【解析】

（1）作BH⊥x轴于H，如图，利用图形得到S△OAB+S△OBH=S△AOC+S梯形ACHB，根据反比例函数k的几何意义得S△OBH=S△AOC，所以S△OAB=S梯形ACHB，然后根据梯形得面积公式求解；

（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征，设A（a，），B（b，），然后根据三角形面积公式可得S△ABD=S△ABC=k；

（3）由于S△ABD=S△ABC，根据三角形面积公式得到点C点和点D到AB的距离相等，所以CD∥AB．

（1）【解析】
作BH⊥x轴于H，如图，

∵S△OAB+S△OBH=S△AOC+S梯形ACHB，

而S△OBH=S△AOC，

∴S△OAB=S梯形ACHB=×（1+4）×（4﹣1）=；

（2）证明：设A（a，），B（b，），

∵S△ABD=•b•（﹣）=k，

S△ABC=••（b﹣a）=k，

∴S△ABD=S△ABC；

（3）【解析】
CD∥AB．理由如下：

∵S△ABD=S△ABC，

∴CD∥AB．