Question

如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；

（1）求证：△ABE∽△ECD；

（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；

（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；理由见解析.

【解析】

（1）先根据同角的余角相等可得：∠DEC=∠A，利用两角相等证明三角形相似；
（2）先根据勾股定理得：BE=3，根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论；
（3）先根据△AED∽△ECD，证明∠EAD=∠DEC，可得∠ADE=∠EDC，证明Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），则DF=DC，同理可得：AF=AB，相加可得结论．

（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，

∵AE⊥DE，

∴∠AED=90°，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∴∠DEC=∠BAE，

∴△ABE∽△ECD；

（2）【解析】
Rt△ABE中，∵AB=4，AE=5，

∴BE=3，

∵BC=5，

∴EC=5﹣3=2，

由（1）得：△ABE∽△ECD，

∴ ，

∴，

∴CD=；

（3）【解析】
线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；

理由是：过E作EF⊥AD于F，

∵△AED∽△ECD，

∴∠EAD=∠DEC，

∵∠AED=∠C，

∴∠ADE=∠EDC，

∵DC⊥BC，

∴EF=EC，

∵DE=DE，

∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），

∴DF=DC，

同理可得：△ABE≌△AFD，

∴AF=AB，

∴AD=AF+DF=AB+CD．