Question

如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）若AB＝4，∠ABP＝60°，求PB的长；

（2）若CD是⊙O的切线．求证：D是AP的中点．

Answer

（1）PB＝8；（2）详见解析.

【解析】

（1）如图1，利用切线的性质得∠BAP=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求PB的长；
（2）连接OC、AC，如图2，根据切线的性质得出∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，利用等腰三角形的性质可证明
∠3=∠4，那么∠1=∠2，CD=AD．根据圆周角定理得∠ACB=90°，再证明∠5=∠P，那么CD=DP，即D是AP的中点．

（1）【解析】
如图1．

∵PA是⊙O的切线，AB是直径，

∴PA⊥AB，

∴∠BAP＝90°，

∴∠P+∠ABP＝90°，

∵∠ABP＝60°，

∴∠P＝30°，

又∵AB＝4，

∴PB＝2AB＝2×4＝8．

（2）证明：连接OC、AC，如图2，

∵PA是⊙O的切线，CD是⊙O的切线，

∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2，

∴CD＝AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠P＝90°，

∵∠1＝∠2，

∴∠5＝∠P，

∴CD＝DP，

∴CD＝AD＝DP，

∴D是AP的中点．