Question

如图，△PAB内接于⊙O，▱ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C＝∠APB，连接BD．

（1）求证：BC是⊙O的切线．

（2）若BC＝2，∠PBD＝60°，求与弦AP围成的阴影部分的面积．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OB，利用平行四边形的性质，切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）连结OP，作OE⊥AP于E，在Rt△OAE中中，利用三角函数得到OE，然后根据扇形面积公式进行计算即可．

【解析】
（1）连结OB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C＝∠BAD，AD∥BC，

∵∠APB＝∠ADB，∠C＝∠APB，

∴∠BAD＝∠ADB，

∴AB＝BD，

∵OA＝OD，

∴OB⊥AD，

∴∠AOB＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠OBC＝∠AOB＝90°，

∴OB⊥BC，

∵OB为半径，

∴BC是⊙O的切线．

（2）连结OP，作OE⊥AP于E，

∵∠PAD＝∠PBD＝60°，OA＝OP，

∴PA＝OA＝OP，∠AOP＝60°，

在▱ABCD中，AD＝BC＝2，

∴AP＝OA＝1，

在Rt△OAE中，OE＝OA•sin60°＝，

与弦AP围成的阴影部分的面积为：﹣×1×＝﹣．